Uji selisih rata-rata dua populasi merupakan salah satu uji hipotesis yang digunakan untuk mengetahui besarnya selisih rata-rata dua populasi berbeda. Pengujian diawali dengan pengambilan sampel dengan ukuran tertentu yang harus diambil secara acak.
Kunjungi: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Rata-Rata Satu Populasi
Berdasarkan datanya, uji selisih rata-rata dua populasi dibagi menjadi dua jenis, yaitu uji selisih rata-rata dua populasi bebas (independent) dan uji selisih rata-rata dua populasi berpasangan (paired). Pada uji selisih rata-rata dua populasi bebas, uji dapat dilakukan dengan menggunakan dua alternatif, yaitu uji-$z$ dan uji-$t.$ Jika varians kedua populasi diketahui, uji rata-rata satu populasi dapat dijalankan dengan menggunakan uji-$z$ sehingga nantinya akan melibatkan tabel-$z.$ Sebaliknya, jika varians populasi tidak diketahui, uji rata-rata satu populasi harus dijalankan dengan menggunakan uji-$t$ sehingga nantinya akan melibatkan tabel-$t.$ Dalam konteks dunia nyata, varians populasi jarang diketahui sehingga uji-$t$ lebih sering dipakai. Lebih lanjut, pada uji selisih rata-rata dua populasi berpasangan, uji yang dipakai selalu uji-$t$ apa pun situasinya. Pada artikel ini, kita akan secara khusus membahas tentang uji selisih rata-rata dua populasi bebas.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Distribusi Peluang Diskret dan Kontinu
Uji-$z$
Uji-$z$ dipakai sebagai uji selisih rata-rata dua populasi jika varians kedua populasi diketahui. Sampel harus diambil secara acak dan berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Kalaupun tidak, banyaknya sampel yang diambil harus cukup besar, biasanya berukuran $\ge 30.$
Rumusan hipotesis dibagi menjadi dua macam, yaitu hipotesis untuk uji dua arah dan uji satu arah. Parameter populasi yang akan diuji adalah rata-rata populasi pertama $\mu_1$ dan populasi kedua $\mu_2.$ Notasi $d_0$ menyatakan selisih rata-rata tertentu yang diduga/ditetapkan sebelumnya.
$$\text{Uji dua arah} \begin{cases} H_0: \mu_1-\mu_2 = d_0. \\ H_1: \mu_1-\mu_2 \ne d_0. \end{cases}$$ $$\text{Uji satu arah (kiri)} \begin{cases} H_0: \mu_1-\mu_2 \ge d_0. \\ H_1: \mu_1-\mu_2 < d_0. \end{cases}$$ $$\text{Uji satu arah (kanan)} \begin{cases} H_0: \mu_1-\mu_2 \le d_0. \\ H_1: \mu_1-\mu_2 > d_0. \end{cases}$$
Statistik uji yang digunakan dalam uji-$z$ adalah
$$z_{\text{hitung}} = \dfrac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-d_0}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}$$dengan $z_{\text{hitung}}$ adalah nilai-$z$ hitung, $\overline{x}_1$ dan $\overline{x}_2$ berturut-turut adalah rata-rata sampel dari populasi pertama dan kedua, $\sigma_1$ dan $\sigma_2$ berturut-turut adalah simpangan baku populasi pertama dan kedua, sedangkan $n_1$ dan $n_2$ berturut-turut adalah ukuran sampel yang diambil dari populasi pertama dan kedua.
Untuk memutuskan apakah hipotesis yang diajukan ditolak atau tidak, nilai kritis harus ditentukan terlebih dahulu. Untuk uji dua arah, nilai kritisnya adalah $-z_{1-\alpha/2}$ dan $z_{1-\alpha/2}.$
Lebih lanjut, untuk uji satu arah, jika $H_1: d < d_0,$ maka nilai kritisnya adalah $-z_{1-\alpha}.$ Sebaliknya, jika $H_1 : d > d_0,$ maka nilai kritisnya adalah $z_{1-\alpha}.$
Nilai dari $z_{1-\alpha/2}$ maupun $z_{1-\alpha}$ dapat ditentukan dengan menggunakan tabel-$z.$
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Normal
Pengambilan keputusan: Dalam uji dua arah, $H_0$ ditolak jika $|z_{\text{hitung}}| > z_{\alpha/2}.$ Di sisi lain, dalam uji satu arah, $H_0$ ditolak jika $z_{\text{hitung}} < -z_{\alpha}$ untuk $H_1: \mu_1-\mu_2 < d_0$ dan $z_{\text{hitung}} > z_{\alpha}$ untuk $H_1: \mu_1-\mu_2 > d_0.$
Uji-$t$
Uji-$t$ dipakai sebagai uji selisih rata-rata dua populasi jika varians kedua populasi tidak diketahui. Lebih lanjut, akan ada dua kondisi yang dapat terjadi ketika varians kedua populasi tidak diketahui, yaitu variansnya dianggap sama atau berbeda. Asumsi ini akan menentukan statistik uji yang digunakan dan daerah kritis karena perbedaan perhitungan derajat kebebasan. Apa pun itu, sampel harus diambil secara acak dan berasal dari populasi yang berdistribusi normal. Kalaupun tidak, banyaknya sampel yang diambil harus cukup besar, biasanya berukuran $\ge 30.$
Rumusan hipotesis dibagi menjadi dua macam, yaitu hipotesis untuk uji dua arah dan uji satu arah. Parameter populasi yang akan diuji adalah rata-rata populasi pertama $\mu_1$ dan populasi kedua $\mu_2.$ Notasi $d_0$ menyatakan selisih rata-rata tertentu yang diduga/ditetapkan sebelumnya.
$$\text{Uji dua arah} \begin{cases} H_0: \mu_1-\mu_2 = d_0. \\ H_1: \mu_1-\mu_2 \ne d_0. \end{cases}$$ $$\text{Uji satu arah (kiri)} \begin{cases} H_0: \mu_1-\mu_2 \ge d_0. \\ H_1: \mu_1-\mu_2 < d_0. \end{cases}$$ $$\text{Uji satu arah (kanan)} \begin{cases} H_0: \mu_1-\mu_2 \le d_0. \\ H_1: \mu_1-\mu_2 > d_0. \end{cases}$$
Varians dianggap sama: Statistik uji yang digunakan dalam uji-$t$ adalah
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-d_0}{s_p\sqrt{1/n_1 + 1/n_2}}$$dengan $t_{\text{hitung}}$ adalah nilai-$t$ hitung, $\overline{x}_1$ dan $\overline{x}_2$ berturut-turut adalah rata-rata sampel dari populasi pertama dan kedua, $n_1$ dan $n_2$ berturut-turut adalah ukuran sampel yang diambil dari populasi pertama dan kedua, sedangkan $s_p$ merupakan simpangan baku gabungan, dirumuskan oleh
$$s_p = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}.$$
Varians dianggap berbeda: Statistik uji yang digunakan dalam uji-$t$ adalah
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-d_0}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}$$dengan $t_{\text{hitung}}$ adalah nilai-$t$ hitung, $\overline{x}_1$ dan $\overline{x}_2$ berturut-turut adalah rata-rata sampel dari populasi pertama dan kedua, $s_1$ dan $s_2$ berturut-turut adalah simpangan baku sampel dari populasi pertama dan kedua, dan $n_1$ dan $n_2$ berturut-turut adalah ukuran sampel yang diambil dari populasi pertama dan kedua.
Untuk memutuskan apakah hipotesis yang diajukan ditolak atau tidak, nilai kritis harus ditentukan terlebih dahulu. Untuk uji dua arah, nilai kritisnya adalah $-t_{\alpha/2; ~\text{dk}}$ dan $t_{\alpha/2; ~\text{dk}}.$
Lebih lanjut, untuk uji satu arah, jika $H_1: \mu_1-\mu_2 < d_0,$ maka nilai kritisnya adalah $-t_{\alpha;~ \text{dk}}.$
Sebaliknya, jika $H_1 :\mu > \mu_0,$ maka nilai kritisnya adalah $t_{\alpha; ~\text{dk}}.$
Dalam hal ini, $\text{dk}$ merupakan derajat kebebasan yang perhitungannya dibedakan berdasarkan asumsi apakah varians kedua populasi dianggap sama atau berbeda.
$$\begin{aligned} \text{Varians sama} \Rightarrow \text{dk} & = n_1 + n_2-1. \\ \text{Varians berbeda} \Rightarrow \text{dk} & = \dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{1}{n_1-1}\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}\right)^2 + \dfrac{1}{n_2-1}\left(\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}. \end{aligned}$$Nilai dari $t_{\alpha/2; ~\text{dk}}$ maupun $t_{\alpha; ~\text{dk}}$ dapat ditentukan dengan menggunakan tabel-$t.$
Pengambilan keputusan: Dalam uji dua arah, $H_0$ ditolak jika $t_{\text{hitung}} < -t_{\alpha/2;~\text{dk}}$ atau $t_{\text{hitung}} > t_{\alpha/2;~\text{dk}}.$ Di sisi lain, dalam uji satu arah, $H_0$ ditolak jika $t_{\text{hitung}} < -t_{\alpha;~\text{dk}}$ untuk $H_1: \mu < \mu_0$ dan $t_{\text{hitung}} > t_{\alpha;~\text{dk}}$ untuk $H_1: \mu > \mu_0.$
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Rata-Rata Satu Populasi
Artikel ini ditulis berdasarkan beberapa sumber, termasuk sumber berbahasa Inggris. Salah satu sumber yang digunakan di antaranya adalah buku “Probability & Statistics for Engineers & Scientists” yang ditulis oleh Ronald E. Walpole dkk. Oleh karena itu, untuk meminimalisasi kesalahan penafsiran, padanan untuk beberapa kata/istilah diberikan dalam tabel berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline \text{No.} & \text{Bahasa Indonesia} & \text{Bahasa Inggris} \\ \hline 1. & \text{Uji Hipotesis} & \text{Hypothesis Testing} \\ 2. & \text{Rata-Rata} & \text{Mean} \\ 3. & \text{Simpangan Baku} & \text{Standard Deviation} \\ 4. & \text{Galat Baku} & \text{Standard Error} \\ 5. & \text{Uji-}z & z\text{-Test} \\ 6. & \text{Uji-}t & t\text{-Test} \\ 7. & \text{Nilai Kritis} & \text{Critical Value} \\ 8. & \text{Daerah Kritis} & \text{Critical Region} \\ 9. & \text{Hipotesis Nol} & \text{Null Hypothesis} \\ 10. & \text{Hipotesis Alternatif} & \text{Alternative Hypothesis} \\ 11. & \text{Statistik Uji} & \text{Test Statistic} \\ 12. & \text{Selang Kepercayaan} & \text{Confidence Interval} \\ 13. & \text{Taraf Signifikansi} & \text{Significance Value} \\ 14. & \text{Uji Satu Arah} & \text{One-Tailed Test} \\ 15. & \text{Uji Dua Arah} & \text{Two-Tailed Test} \\ 16. & \text{Derajat Kebebasan} & \text{Degree of Freedom} \\ \hline \end{array}$$
Quote by Vivian Greene
Catatan: Hasil perhitungan yang dilakukan dalam setiap soal bisa jadi sedikit berbeda karena masalah pembulatan. Anda seharusnya tidak dianggap salah jika terjadi kasus seperti itu.
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Sampel acak pertama berukuran $25$ memiliki rata-rata $81,$ diambil dari suatu populasi normal dengan simpangan baku $5,\!2.$ Sampel acak kedua berukuran $36$ memiliki rata-rata $76,$ diambil dari suatu populasi normal dengan simpangan baku $3,\!4.$ Ujilah hipotesis dengan taraf signifikansi $6\%$ bahwa $\mu_1 = \mu_2$ dengan hipotesis alternatifnya $\mu_1 \ne \mu_2.$
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut berkorespondensi dengan sampel acak pertama dan kedua. Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline d_0 = 0 & \alpha = 6\% = 0,\!06 & \\ \overline{x}_1 = 81 & \sigma_1 = 5,\!2 & n_1 = 25 \\ \overline{x}_2 = 76 & \sigma_2 = 3,\!4 & n_2 = 36. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi yang varians dua populasinya diketahui. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$z.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_1$ dan $\mu_2,$ berturut-turut adalah rata-rata populasi normal yang berkorespondensi dengan sampel acak pertama dan kedua.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_1-\mu_2 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_1-\mu_2 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$\begin{aligned} z_{\text{hitung}} & = \dfrac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-d_0}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} +\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}} \\ & = \dfrac{(81-76)-0}{\dfrac{5,\!2^2}{25} + \dfrac{3,\!4^2}{36}} \\ & \approx 4,\!221. \end{aligned}$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$z,$ nilai-$z$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!03$ adalah $$z_{\text{tabel}} = z_{1-\alpha/2} = z_{0,97} \approx 1,\!88.$$Dengan demikian, daerah kritis terletak di $z < -1,\!88$ dan $z > 1,\!88.$
Keputusan:
Karena $|z_{\text{hitung}}| = 4,\!221 > 1,\!88 = z_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, sudah cukup bukti untuk menyatakan bahwa kedua populasi normal tersebut memiliki rata-rata yang berbeda.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Selisih Rata-Rata Dua Populasi Berpasangan
Soal Nomor 2
Suatu penelitian dilakukan untuk membandingkan partisipasi politik di dua provinsi, yaitu Provinsi A dan Provinsi B. Untuk keperluan penelitian tersebut, diambil sampel sebanyak $15$ kabupaten/kota dari masing-masing provinsi tersebut. Untuk Provinsi A, diperoleh rata-rata partisipasi politik sebesar $86\%.$ Untuk Provinsi B, diperoleh rata-rata partisipasi politik sebesar $77\%.$ Lebih lanjut, simpangan baku populasi dari persentase partisipasi politik di Provinsi A dan Provinsi B berturut-turut adalah $6\%$ dan $5\%.$ Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal. Dengan taraf signifikansi $5\%,$ ujilah hipotesis bahwa rata-rata partisipasi politik Provinsi A lebih tinggi daripada partisipasi politik Provinsi B.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan persentase partisipasi politik di Provinsi A dan B. Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline d_0 = 0 & \alpha = 5\% = 0,\!05 & \\ \overline{x}_1 = 86 & \sigma_1 = 6 & n_1 = 15 \\ \overline{x}_2 = 77 & \sigma_2 = 5 & n_2 = 15. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi yang varians dua populasinya diketahui. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$z.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_1$ dan $\mu_2,$ berturut-turut adalah rata-rata populasi dari persentase partisipasi politik di Provinsi A dan Provinsi B.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_1-\mu_2 \le 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_1-\mu_2 > 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$\begin{aligned} z_{\text{hitung}} & = \dfrac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-d_0}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} +\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}} \\ & = \dfrac{(86-77)-0}{\dfrac{6^2}{15} + \dfrac{5^2}{15}} \\ & \approx 4,\!463. \end{aligned}$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kanan). Dengan menggunakan tabel-$z,$ nilai-$z$ dengan $\alpha = 0,\!05$ adalah $$z_{\text{tabel}} = z_{1-\alpha} = z_{0,95} \approx 1,\!64.$$Dengan demikian, daerah kritis terletak di $z > 1,\!64.$
Keputusan:
Karena $z_{\text{hitung}} = 4,\!463 > 1,\!64 = z_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, dapat dikatakan bahwa rata-rata partisipasi politik Provinsi A lebih tinggi daripada partisipasi politik Provinsi B.
Soal Nomor 3
Suatu percobaan dilakukan untuk membandingkan keausan karena gosokan dari dua bahan yang dilapisi. Dua belas potong bahan $1$ diuji dengan memasukkan tiap potong bahan ke dalam mesin pengukur aus. Sepuluh potong bahan $2$ diuji dengan cara yang sama. Dalam tiap observasi, ukuran keausan dicatat. Sampel bahan $1$ memberikan rata-rata keausan (sesudah disandi) sebesar $85$ satuan dengan simpangan baku sampel $4,$ sedangkan sampel bahan $2$ memberikan rata-rata keausan sebesar $81$ satuan dengan simpangan baku sampel $5.$ Dapatkah disimpulkan bahwa dengan taraf signifikansi $5\%,$ rata-rata keausan bahan $1$ melampaui rata-rata keausan bahan $2$ lebih dari $2$ satuan? Anggaplah kedua populasi berdistribusi normal dengan varians yang sama.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan keausan dari bahan $1$ dan bahan $2.$ Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline d_0 = 2 & \alpha = 5\% = 0,\!05 & \\ \overline{x}_1 = 85 & s_1 = 4 & n_1 = 12 \\ \overline{x}_2 = 81 & s_2 = 5 & n_2 = 10. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi yang varians dua populasinya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_1$ dan $\mu_2,$ berturut-turut adalah rata-rata keausan dari populasi bahan $1$ dan bahan $2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_1-\mu_2 \le 2. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_1-\mu_2 > 2. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-d_0}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} +\dfrac{1}{n_2}}}$$dengan
$$\begin{aligned} s_p & = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(12-1)(4)^2 + (10-1)(5)^2}{12+10-2}} \\ & \approx 4,\!478. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(85-81)-2}{4,\!478\sqrt{\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{10}}} \approx 1,\!043.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kanan). Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} = n_1+n_2-1=12+10-2=20$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,\!05; 20} \approx 1,\!725.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t > 1,\!725.$ Keputusan:
Karena $t_{\text{hitung}} = 1,\!043 < 1,\!725 = t_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, tidak cukup bukti untuk menyatakan bahwa rata-rata keausan bahan $1$ melampaui rata-rata keausan bahan $2$ lebih dari $2$ satuan.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Varians Satu Populasi
Soal Nomor 4
Suatu penelitian dilakukan untuk melihat apakah peningkatan konsentrasi substrat akan memberikan pengaruh yang signifikan pada laju suatu reaksi kimia. Dengan konsentrasi substrat sebesar $1,\!5$ mol per liter, reaksi dicoba sebanyak $15$ kali dengan hasil rata-rata lajunya $7,\!5$ mikromol per $30$ menit dan simpangan bakunya $1,\!5$ mikromol per $30$ menit. Lebih lanjut, dengan konsentrasi substrat sebesar $2,\!0$ mol per liter, reaksi dicoba sebanyak $12$ kali dengan hasil rata-rata lajunya $8,\!8$ mikromol per $30$ menit dan simpangan bakunya $1,\!2$ mikromol per $30$ menit. Dengan menggunakan taraf signifikansi $1\%,$ apakah peningkatan konsentrasi substrat tersebut dapat menaikkan rata-rata lajunya lebih dari $0,\!5$ mikromol per $30$ menit? Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dengan varians yang sama.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan laju reaksi kimia tersebut (dalam satuan mikromol per $30$ menit) ketika menggunakan konsentrasi substrat sebesar $1,\!5$ dan $2,\!0$ mol per liter. Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline d_0 = 0,\!5 & \alpha = 1\% = 0,\!01 & \\ \overline{x}_1 = 7,\!5 & s_1 = 1,\!5 & n_1 = 15 \\ \overline{x}_2 = 8,\!8 & s_2 = 1,\!2 & n_2 = 12. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi yang varians dua populasinya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_1$ dan $\mu_2,$ berturut-turut adalah rata-rata k laju reaksi kimia tersebut (dalam satuan mikromol per $30$ menit) ketika menggunakan konsentrasi substrat sebesar $1,\!5$ dan $2,\!0$ mol per liter.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_1-\mu_2 \le 0,\!5. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_1-\mu_2 > 0,\!5. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-d_0}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} +\dfrac{1}{n_2}}}$$dengan
$$\begin{aligned} s_p & = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(15-1)(1,\!5)^2 + (12-1)(1,\!2)^2}{15+12-2}} \\ & \approx 1,\!3761. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(8,\!8-7,\!5)-0,\!5}{1,\!3761\sqrt{\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{12}}} \approx 1,\!501.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kanan). Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha = 0,\!01$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} = n_1+n_2-1=15+12-2=25$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,01; 25} \approx 2,\!485.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t > 2,\!485.$
Keputusan:
Karena $t_{\text{hitung}} = 1,\!501 < 2,\!485 = t_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, tidak cukup bukti untuk menyatakan bahwa peningkatan konsentrasi substrat tersebut dapat menaikkan rata-rata lajunya lebih dari $0,\!5$ mikromol per $30$ menit.
Soal Nomor 5
Berikut ini merupakan data durasi film (dalam menit) yang diproduksi oleh dua rumah produksi (RP).
$$\begin{array}{c|ccccccc} \textbf{RP 1} & 102 & 86 & 98 & 109 & 92 & & \\ \hline \textbf{RP 2} & 81 & 165 & 97 & 134 & 92 & 87 & 114 \end{array}$$Ujilah hipotesis bahwa rata-rata durasi film yang diproduksi RP $2$ melebihi RP $1$ sebesar $10$ menit atau sama, dengan alternatif bahwa perbedaannya kurang dari $10$ menit. Gunakan taraf signifikansi $10\%$ dan anggap distribusi populasinya normal dengan varians berbeda.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan durasi film (dalam menit) yang diproduksi oleh RP $1$ dan RP $2.$ Diketahui dan dapat dicari informasi berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline d_0 = 10 & \alpha = 10\% = 0,\!1 & \\ \overline{x}_1 = 97,\!4 & s_1^2 = 78,\!8 & n_1 = 5 \\ \overline{x}_2 = 110 & s_2^2 \approx 913,\!33 & n_2 = 7. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi yang varians dua populasinya tidak diketahui dan dianggap berbeda. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_1$ dan $\mu_2,$ berturut-turut adalah rata-rata populasi dari durasi film (dalam menit) yang diproduksi oleh RP $1$ dan RP $2.$
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_2-\mu_1 \ge 10. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_2-\mu_1 < 10. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$\begin{aligned} t_{\text{hitung}} & = \dfrac{(\overline{x}_2-\overline{x}_1)-d_0}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} +\dfrac{s_2^2}{n_2}}} \\ & = \dfrac{(110-97,\!4)-10}{\sqrt{\dfrac{78,\!8}{5} + \dfrac{913,\!33}{7}}} \\ & \approx 0,\!215. \end{aligned}$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kiri). Sebelum meninjau tabel-$t,$ derajat kebebasan perlu dihitung dulu dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} \text{dk} & = \dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{1}{n_1-1}\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}\right)^2 + \dfrac{1}{n_2-1}\left(\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2} \\ & = \dfrac{\left(\dfrac{78,\!8}{5} + \dfrac{913,\!33}{7}\right)^2}{\dfrac{1}{5-1}\left(\dfrac{78,\!8}{5}\right)^2 + \dfrac{1}{7-1}\left(\dfrac{913,\!33}{7}\right)^2} \\ & \approx 7,\!38 \approx 7. \end{aligned}$$Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha = 0,\!1$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = 7$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,\!1; 7} \approx 1,\!415.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -1,\!415.$
Keputusan:
Karena $t_{\text{hitung}} = 0,\!215 > -1,\!415 = t_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, tidak cukup bukti untuk menyatakan bahwa rata-rata dari perbedaan durasi film RP $2$ dengan RP $1$ kurang dari 10 menit.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Uji Kesamaan Varians dari Dua Populasi
Soal Nomor 6
Seorang peneliti melakukan pengujian model pembelajaran X dan model pembelajaran konvensional masing-masing pada satu kelas dengan jenjang yang sama sebagai sampel. Sebanyak $30$ siswa pada kelas pertama mengikuti proses pembelajaran dengan model pembelajaran X, sedangkan $35$ siswa pada kelas kedua mengikuti proses pembelajaran dengan model pembelajaran konvensional. Setelah tes akhir dilakukan, diperoleh rata-rata sampel berturut-turut adalah $25,\!6$ dan $28,\!3.$ Lebih lanjut, simpangan baku sampel berturut-turut adalah $4,\!2$ dan $3,\!8.$ Asumsikan populasinya berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Ujilah hipotesis bahwa ada perbedaan yang signifikan antara penerapan model pembelajaran X dan konvensional. Gunakan taraf signifikansi $5\%.$
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan nilai tes akhir setelah dilakukan model pembelajaran X dan konvensional. Diketahui
$$\begin{array}{ccc} \hline d_0 = 0 & \alpha = 5\% = 0,\!05 & \\ \overline{x}_1 = 25,\!6 & s_1 = 4,\!2 & n_1 = 30 \\ \overline{x}_2 = 28,\!3 & s_2 = 3,\!8 & n_2 = 35. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi yang varians dua populasinya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_1$ dan $\mu_2,$ berturut-turut adalah rata-rata nilai tes akhir setelah dilakukan model pembelajaran X dan konvensional.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_1-\mu_2 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_1-\mu_2 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-d_0}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} +\dfrac{1}{n_2}}}$$dengan
$$\begin{aligned} s_p & = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(30-1)(4,\!2)^2 + (35-1)(3,\!8)^2}{30+35-2}} \\ & \approx 3,\!989. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(25,\!6-28,\!3)-0}{3,\!989\sqrt{\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{35}}} \approx -2,\!72.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} = n_1+n_2-1=30+35-2=63$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025; 63} \approx 2.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -2$ atau $t > 2.$
Keputusan:
Karena $|t_{\text{hitung}}| = 2,\!72 > 2 = t_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, ada perbedaan yang signifikan antara penerapan model pembelajaran X dan konvensional.
Soal Nomor 7
Data berikut merupakan data tinggi badan (dalam cm) $10$ siswa dan $10$ siswi pada jenjang yang sama di suatu sekolah yang didapat setelah melalui pengambilan secara acak.
$$\begin{array}{c|ccccccccc} \textbf{Siswa} & 120 & 122 & 120 & 138 & 130 & 128 & 132 & 125 & 127 & 130 \\ \hline \textbf{Siswi} & 115 & 120 & 118 & 130 & 135 & 126 & 127 & 126 & 125 & 129 \\ \end{array}$$Asumsikan populasi berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Dengan taraf signfikansi $5\%,$ apakah dapat dikatakan bahwa tinggi siswa dan siswi pada jenjang tersebut di sekolah itu sama?
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan tinggi badan siswa dan siswi pada jenjang tersebut di sekolah yang sama. Diketahui dan dapat dicari informasi berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline d_0 = 0 & \alpha = 5\% = 0,\!05 & \\ \overline{x}_1 = 127,\!2 & s_1 \approx 5,\!6921 & n_1 = 10 \\ \overline{x}_2 = 125,\!1 & s_2 \approx 5,\!9712 & n_2 = 10. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi yang varians dua populasinya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_1$ dan $\mu_2,$ berturut-turut adalah rata-rata tinggi badan siswa dan siswi pada jenjang tersebut di sekolah yang sama.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_1-\mu_2 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_1-\mu_2 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-d_0}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} +\dfrac{1}{n_2}}}$$dengan
$$\begin{aligned} s_p & = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(10-1)(5,\!6921)^2 + (10-1)(5,\!9712)^2}{10+10-2}} \\ & \approx 5,\!8333. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(127,\!2-125,\!1)-0}{5,\!8333\sqrt{\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}}} \approx 0,\!805.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} = n_1+n_2-1=10+10-2=18$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025; 18} \approx 2,\!101.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -2,\!101$ atau $t > 2,\!101.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 0,\!805 < 2,\!101 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, dapat dikatakan bahwa tinggi siswa dan siswi pada jenjang tersebut di sekolah itu sama.
Soal Nomor 8
Suatu penelitian dilakukan untuk menguji apakah nilai mata kuliah Statistika Sosial yang diberikan kepada mahasiswa dari program studi Ilmu Komunikasi dan Sosiologi di suatu universitas memiliki perbedaan atau tidak. Untuk itu, diambil sampel sebanyak $10$ nilai, masing-masing dari mahasiswa program studi Ilmu Komunikasi dan Sosiologi, yaitu sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|ccccccccc} \textbf{Ilmu Komunikasi} & 63 & 78 & 71 & 82 & 93 & 72 & 61 & 63 & 56 & 82 \\ \hline \textbf{Sosiologi} & 69 & 56 & 67 & 72 & 59 & 71 & 55 & 88 & 79 & 49 \\ \end{array}$$Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Dengan taraf signifikansi $5\%,$ ujilah dugaan dari penelitian yang dimaksud.
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan nilai mahasiswa program studi Ilmu Komunikasi dan Sosiologi di universitas tersebut. Diketahui dan dapat dicari informasi berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline d_0 = 0 & \alpha = 5\% = 0,\!05 & \\ \overline{x}_1 = 72,\!1 & s_1 \approx 11,\!628 & n_1 = 10 \\ \overline{x}_2 = 66,\!5 & s_2 \approx 11,\!928 & n_2 = 10. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi yang varians dua populasinya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_1$ dan $\mu_2,$ berturut-turut adalah rata-rata nilai seluruh mahasiswa program studi Ilmu Komunikasi dan Sosiologi di universitas tersebut.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_1-\mu_2 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_1-\mu_2 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-d_0}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} +\dfrac{1}{n_2}}}$$dengan
$$\begin{aligned} s_p & = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(10-1)(11,\!628)^2 + (10-1)(11,\!928)^2}{10+10-2}} \\ & \approx 11,\!779. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(72,\!1-66,\!5)-0}{11,\!779\sqrt{\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}}} \approx 1,\!063.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!025$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} = n_1+n_2-1=10+10-2=18$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,025; 18} \approx 2,\!101.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -2,\!101$ atau $t > 2,\!101.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 1,\!063 < 2,\!101 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, tidak ada perbedaan rata-rata nilai mahasiswa dari program studi Ilmu Komunikasi dan Sosiologi di universitas tersebut.
Soal Nomor 9
Seorang peneliti menduga bahwa siswa yang belajar di pagi hari dan siswa yang belajar di sore hari memiliki kemampuan yang berbeda pada mata pelajaran Matematika. Untuk itu, ia mengambil secara acak $12$ orang siswa yang belajar matematika di pagi hari dan $16$ orang siswa yang belajar matematika di sore hari. Setelah dilakukan proses pembelajaran selama waktu tertentu, diperoleh nilai tes akhir sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|cccccccccccc} \textbf{Pagi} & 51 & 71 & 76 & 81 & 67 & 98 & 58 & 69 & 87 & 74 & 79 & 81 \\ \hline \textbf{Sore} & 68 & 72 & 77 & 79 & 68 & 80 & 54 & 63 & 89 & 74 & 66 & 86 & 77 & 73 & 74 & 87 \\ \end{array}$$Asumsikan kedua populasi berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Dengan taraf signifikansi $1\%,$ bagaimana kesimpulan dari penelitian tersebut?
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan nilai siswa yang belajar matematika di pagi dan sore hari. Diketahui dan dapat dicari informasi berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline d_0 = 0 & \alpha = 1\% = 0,\!01 & \\ \overline{x}_1 \approx 74,\!3333 & s_1 \approx 12,\!5722 & n_1 = 12 \\ \overline{x}_2 = 74,\!1875 & s_2 \approx 9,\!232 & n_2 = 16. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi yang varians dua populasinya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_1$ dan $\mu_2,$ berturut-turut adalah rata-rata nilai seluruh siswa yang belajar matematika di pagi dan sore hari.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_1-\mu_2 = 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_1-\mu_2 \ne 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-d_0}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} +\dfrac{1}{n_2}}}$$dengan
$$\begin{aligned} s_p & = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(12-1)(12,\!5722)^2 + (16-1)(9,\!232)^2}{12+16-2}} \\ & \approx 10,\!7723. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(74,\!3333-74,\!1875)-0}{10,\!7723\sqrt{\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{16}}} \approx 0,\!035.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji dua arah. Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha’ = \alpha/2 = 0,\!005$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} = n_1+n_2-1=12+16-2=26$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,005; 26} \approx 2,\!779.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -2,\!779$ atau $t > 2,\!779.$
Keputusan:
Karena $$|t_{\text{hitung}}| = 0,\!035 < 2,\!101 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, siswa yang belajar di pagi hari dan siswa yang belajar di sore hari memiliki kemampuan yang sama pada mata pelajaran Matematika.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Rata-Rata Satu Populasi
Soal Nomor 10
Seorang produsen sabun memproduksi dua jenis sabun, yaitu sabun A dan sabun B. Produsen tersebut ingin mengetahui apakah penjualan sabun A lebih besar daripada sabun B. Untuk itu, ia melakukan pengambilan sampel pada $8$ daerah penjualan dan mendapatkan data banyaknya sabun yang terjual sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|cccccccc} \textbf{Sabun A} & 115 & 125 & 132 & 145 & 134 & 152 & 155 & 126 \\ \hline \textbf{Sabun B} & 124 & 126 & 122 & 144 & 133 & 145 & 160 & 112 \\ \end{array}$$Asumsikan populasinya berdistribusi normal dan variansnya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Ujilah hipotesis terkait dugaan produsen tersebut. Gunakan taraf signifikansi $10\%.$
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak diskret yang berturut-turut menyatakan banyaknya sabun A dan sabun B yang terjual. Diketahui dan dapat dicari informasi berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline d_0 = 0 & \alpha = 10\% = 0,\!1 & \\ \overline{x}_1 = 135,\!5 & s_1 \approx 14,\!0306 & n_1 = 8 \\ \overline{x}_2 = 133,\!25 & s_2 \approx 15,\!5173 & n_2 = 8. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi yang varians dua populasinya tidak diketahui, tetapi dianggap sama. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_1$ dan $\mu_2,$ berturut-turut adalah rata-rata banyaknya sabun A dan sabun B yang terjual secara keseluruhan.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_1-\mu_2 \le 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_1-\mu_2 > 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(\overline{x}_1-\overline{x}_2)-d_0}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} +\dfrac{1}{n_2}}}$$dengan
$$\begin{aligned} s_p & = \sqrt{\dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1 + n_2-2}} \\ & = \sqrt{\dfrac{(8-1)(14,\!0306)^2 + (8-1)(15,\!5173)^2}{8+8-2}} \\ & \approx 14,\!7926. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat
$$t_{\text{hitung}} = \dfrac{(135,\!5-133,\!25)-0}{14,\!7926\sqrt{\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}}} \approx 0,\!304.$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kanan). Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha = 0,\!1$ dan derajat kebebasan $$\text{dk} = n_1+n_2-1=8+8-2=14$$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,1; 14} \approx 1,\!345.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t > 1,\!345.$ Keputusan:
Karena $$t_{\text{hitung}} = 0,\!304 < 1,\!345 = t_{\text{tabel}},$$disimpulkan bahwa statistik uji tidak jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ tidak ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, tidak cukup bukti untuk menyimpulkan bahwa penjualan sabun A lebih besar daripada sabun B.
Soal Nomor 11
Sebuah majalah tentang kriminalitas menyatakan bahwa rata-rata dari lamanya masa penahanan (dalam bulan) seorang narapidana karena kasus penipuan lebih pendek dibandingkan kasus senjata api. Seorang kriminolog mencatat masa penahanan dari $10$ orang narapidana karena kasus penipuan dan $8$ orang narapidana karena senjata api sampai mereka bebas dari penjara sebagai berikut.
$$\begin{array}{c|cccccccccc} \textbf{Penipuan} & 3,\!6 & 5,\!3 & 10,\!7 & 8,\!5 & 11,\!8 & 15,\!5 & 13 & 7 & 5,\!9 & 7 \\ \hline \textbf{Senjata Api} & 25,\!5 & 10,\!4 & 18,\!4 & 19,\!6 & 20,\!9 & 10,\!3 & 18,\!2 & 18,\!1 \end{array}$$Asumsikan bahwa data berasal dari distribusi normal dan varians kedua populasi berbeda. Ujilah klaim yang termuat dalam majalah tersebut dengan menggunakan taraf signifikansi $5\%.$
Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak kontinu yang berturut-turut menyatakan lamanya masa penahanan (dalam bulan) seorang narapidana karena kasus penipuan dan kasus senjata api. Diketahui dan dapat dicari informasi berikut.
$$\begin{array}{ccc} \hline d_0 = 0 & \alpha = 5\% = 0,\!05 & \\ \overline{x}_1 = 8,\!83 & s_1^2 \approx 3,\!7918 & n_1 = 10 \\ \overline{x}_2 = 17,\!675 & s_2^2 \approx 5,\!1219 & n_2 = 8. \\ \hline \end{array}$$Ini merupakan kasus uji selisih rata-rata dua populasi yang varians dua populasinya tidak diketahui dan dianggap berbeda. Oleh karena itu, akan digunakan uji-$t.$
Rumusan hipotesis:
Parameter populasi yang akan diuji adalah $\mu_1$ dan $\mu_2,$ berturut-turut adalah rata-rata populasi dari lamanya masa penahanan (dalam bulan) seorang narapidana karena kasus penipuan dan kasus senjata api.
$$\begin{array}{cc} \text{Hipotesis nol} & H_0: \mu_1-\mu_2 \ge 0. \\ \text{Hipotesis alternatif} & H_1: \mu_1-\mu_2 < 0. \\ \end{array}$$Statistik uji:
$$\begin{aligned} t_{\text{hitung}} & = \dfrac{(\overline{x}_2-\overline{x}_1)-d_0}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1} +\dfrac{s_2^2}{n_2}}} \\ & = \dfrac{(8,\!83-17,\!675)-0}{\sqrt{\dfrac{(3,\!7918)^2}{10} + \dfrac{(5,\!1219)^2}{8}}} \\ & \approx -4,\!0725. \end{aligned}$$Daerah kritis:
Perhatikan bahwa uji yang dilakukan merupakan uji satu arah (kiri). Sebelum meninjau tabel-$t,$ derajat kebebasan perlu dihitung dulu dengan cara berikut.
$$\begin{aligned} \text{dk} & = \dfrac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1} + \dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{1}{n_1-1}\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}\right)^2 + \dfrac{1}{n_2-1}\left(\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2} \\ & = \dfrac{\left(\dfrac{(3,\!7918)^2}{10} + \dfrac{(5,\!1219)^2}{8}\right)^2}{\dfrac{1}{10-1}\left(\dfrac{(3,\!7918)^2}{10}\right)^2 + \dfrac{1}{8-1}\left(\dfrac{(5,\!1219)^2}{8}\right)^2} \\ & \approx 12,\!6000 \approx 12. \end{aligned}$$Dengan menggunakan tabel-$t,$ nilai-$t$ dengan $\alpha = 0,\!05$ dan derajat kebebasan $\text{dk} = 12$ adalah $t_{\text{tabel}} = t_{0,\!05; 12} \approx 1,\!782.$ Dengan demikian, daerah kritis terletak di $t < -1,\!782.$
Keputusan:
Karena $t_{\text{hitung}} = -4,\!0725 < -1,\!782= t_{\text{tabel}},$ disimpulkan bahwa statistik uji jatuh pada daerah kritis. Dengan demikian, $H_0$ ditolak.
Kesimpulan:
Jadi, bukti sudah cukup untuk menyatakan bahwa rata-rata dari lamanya masa penahanan (dalam bulan) seorang narapidana karena kasus penipuan lebih pendek dibandingkan kasus senjata api.
Baca: Materi, Soal, dan Pembahasan – Penaksiran Selisih Rata-Rata Dua Populasi Bebas